Toute discussion sur les rapports entre les mathématiques et la physique butte nécessairement sur la troublante question posée par Eugène Wigner dans son recueil " Réflexions et symétries " concernant la " Déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles ". C’est en réalité un double paradoxe qui surgit là, avec lequel il faut bien vivre et enseigner, et que l’on peut résumer de la manière suivante : Si les mathématiques sont inventées par les mathématiciens – un peu comme la musique est composée par les musiciens, par quel miracle sont-elles si efficaces dans la description de la nature ? En réalité, les mathématiciens, lorsqu’ils parlent de leur travail, disent plus volontiers qu’ils découvrent des structures mathématiques plutôt qu’ils ne les inventent. D’où la seconde facette du paradoxe : Si les objets et les structures mathématiques sont découvertes, tout comme un physicien découvre des objets et des structures dans le monde naturel, où donc se trouve le monde où ces objets et ces structures mathématiques " vivent " ? Où se trouve le chiffre 3 ?
Je voudrais développer ici, à travers quelques exemples, l’idée que cette " Déraisonnable efficacité des mathématiques " devrait être constamment présente à l’esprit de l’enseignant de physique, car elle peut constituer une levier très puissant pour éveiller l’intérêt des élèves à la fois pour la physique et pour les mathématiques. Cette idée est sûrement plus facile à illustrer dans les pays où c’est le même professeur qui enseigne les deux disciplines : la physique est couplée aux mathématiques, et la chimie à la biologie. Mais en France les mathématiques sont enseignées à part, et cela renforce leur perception, par les autres sciences, comme un outil : un outil qu’on pourrait prendre ou ne pas prendre. Pourtant, comme l’a discuté Richard Feynman avec infiniment de force dans le propos et de pédagogie dans l’argumentation, les mathématiques ne sont pas un outil pour la physique, elles en sont constitutives. Les exemples qui suivent ont pour seule fonction de montrer comment, à quelque niveau d’enseignement qu’on se place, il est possible de mettre en œuvre l’interrogation de Wigner. J’espère convaincre ainsi de l’intérêt pédagogique qu’il y a à le faire.
Dans cette discussion, Galilée n’est pas loin : les mathématiques seraient le langage de la nature. Mais outre que cette qualification ne résout pas le problème de Wigner -ce n’est qu’une façon de le formuler- j’ai surpris plusieurs fois un froncement de sourcil chez des amis mathématiciens lorsque l’on ne considère les mathématiques que comme un langage : c’est une idée qui ne leur plaît manifestement pas. J’imagine que l’origine de cette répulsion vient de ce qu’il existe tout de même une dimension des mathématiques, et non des moindres, qui semble relativement détachée du contexte de description de la nature, c’est celle de démonstration. Pour ne prendre qu’un exemple : dans la pratique, toutes les longueurs sont commensurables, et l’on n’a besoin que des nombres rationnels (et même décimaux !) pour traiter les affaires courantes. Pourtant la démonstration arithmétique de l’irrationalité de racine de 2, et plus encore sa démonstration géométrique (s’il existe un triangle isocèle rectangle en nombres entiers, alors il en existe un autre plus petit etc…) qui, me dit-on, est la première démonstration dont on ait la trace historique, produit sur l’esprit une émotion d’une force étonnante. Cette force n’a aucun rapport avec l’utilité pratique du résultat, qui est, en un certain sens (mais en un sens seulement), nulle, et chacun peut vérifier qu’elle est également intense chez des gens dont l’activité est très éloignée des mathématiques. Cette démonstration, et au delà de celle-ci, toute démonstration, nous dit-elle donc quelque chose sur le fonctionnement du cerveau ? Y a-t-il, dans l’intensité de l’impression ressentie, comme un phénomène de résonance avec des structures mentales profondément enfouies ? Je suis évidemment incapable de m’aventurer dans cette direction, dont j’ai pris connaissance lors de conversations avec Jean-Louis Krivine, lequel fournit une certaine réponse à la question : où se trouve le chiffre 3 ? A ma connaissance, c’est d’ailleurs la seule tentative non philosophique de donner à la vision platonicienne spontanée des mathématiciens une base matérialiste, et de réconcilier les mathématiques pour elles-mêmes avec les mathématiques pour les autres.
Une dernière remarque concernant cette introduction. En filigrane de notre discussion se lit la question : les mathématiques, à quoi ça sert ? A notre époque où se développe une certaine pratique consumériste de l’Ecole, cette question a priori innocente et bienvenue chez un élève prend un caractère particulier de perte de confiance vis-à-vis de l’institution, comme s’il fallait entendre en réalité : ce sur quoi vous me demandez de travailler, ça sert vraiment à quelque chose ? Dans un pareil contexte, il peut être utile, pour donner du relief à la question, d’interroger l’interrogateur : et toi, es-tu bien sûr de servir à quelque chose ? En sommes-nous au point où chacun doit justifier de son existence ? Ne suffit-il que les choses soient là pour s’y intéresser ? Pourquoi un tel manque d’harmonie avec ce qui est déjà présent ?
Toujours est-il que la question, insidieuse, est là, signe des temps, et qu’il faut bien y répondre : c’est à coup sûr du côté de la recherche et la mise en évidence du sens que se trouve la réponse. C’est ce que les exemples qui suivent veulent illustrer.
Cette première détermination précise du rayon de la Terre est racontée dans la plupart des livres d’histoire de l’astronomie, on la trouve dans des livres de géométrie, et dans les livres du précédent programme de physique de seconde, en illustration de la propagation rectiligne de la lumière. Rappelons brièvement de quoi il s’agit. La scène se passe environ 250 ans avant notre ère. Eratosthène apprend que le jour du solstice d’été, à Syène (près de l’actuel Assouan), le Soleil passe à la verticale du lieu : un objet vertical n’a pas d’ombre, les rayons du Soleil éclairent le fond d’un puits. Or il constate qu’au même jour et à la même heure, à Alexandrie, distante d’environ 800 kilomètres, un bâton placé verticalement possède une ombre. De cette observation il déduit, à l’aide d’une construction semblable à celle de la figure 1, que (longueur de l’ombre)/(taille du bâton) = (distance Alexandrie-Syène)/(rayon de la Terre), d’où le rayon de la Terre. Il trouve 6500 km : superbe !
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Mais l’histoire, dans cette version, est en réalité dépouillée de l’essentiel de sa chair : la simple observation faite par Eratosthène ne justifie en rien le calcul qui suit. Encore faut-il attribuer l’effet observé, d’une part au fait que le Soleil est à l’infini, d’autre part au fait que la Terre est ronde et qu’en conséquence les verticales de Syène et d’Alexandrie font un angle. Sur la base de la même observation, on peut bâtir un autre raisonnement, et en déduire la distance de la Terre au Soleil. C’est ce que fait Georges Gamow-le-malicieux dans son petit livre " Une étoile nommée Soleil ", et il attribue cette seconde version Fig.1 à Anaxagore, qui vivait environ 200 ans avant Eratosthène. A ma connaissance, rien ne justifie cette attribution…mais l’histoire est tout de même jolie. |
Pourquoi, donc, ne pas supposer que le Soleil est proche de la Terre, et que la rotondité éventuelle de celle-ci ne joue qu’un rôle négligeable ? On est alors conduit à tracer la figure qui suit.
On trouve alors que (taille du bâton)/(longueur de l’ombre) = (hauteur du Soleil au dessus de la Terre)/(distance Syène-Alexandrie), d’où l’on trouve que le Soleil se trouve…à 6500 km de la Terre ! Comme le diamètre apparent du Soleil est d’environ 0,01 radian, le diamètre du Soleil est à peu près égal à 65 km.
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En résumé, l’observation faite conduit aux deux énoncés possibles suivants :
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La situation intermédiaire, où les deux effets sont présents, est évidemment possible.
Pour admettre que le calcul proposé en général dans les livres est le bon, il faut avoir des informations supplémentaires, notamment concernant la distance Terre-Soleil. Par exemple, lorsqu’on observe la Lune à son premier quartier, les directions observateur-Lune et observateur-Soleil font un angle droit : cette observation implique que le Soleil n’est pas proche de la Terre. Là encore, des notions de géométrie simple sont impliquées.
La morale de cette petite histoire est, je pense, claire : une observation ne parle pas d’elle-même. Lui donner du sens passe par une reconstruction du réel par la pensée, et pour cette reconstruction, les mathématiques sont incontournables. Pour qu’elles le deviennent pour les élèves, il ne faut pas faire systématiquement cette reconstruction à leur place.
Note : Anaxagore est connu pour avoir fourni la première explication correcte des éclipses de Lune, comme étant dues au passage de celle-ci dans l’ombre de la Terre. La forme de cette ombre implique que la Terre est ronde. Mais cela n’invalide pas le raisonnement ci-dessus : si le Soleil est suffisamment proche, la rotondité de la Terre est négligeable.
Cet exemple, emprunté à Richard Feynman, met en scène Raphaël et Lucie (les noms sont différents dans la version originale). Ils sont au bord de la mer. Raphaël se repose sur la plage, Lucie est partie se baigner. Levant la tête au bout de quelques instants, Raphaël comprend que Lucie a des difficultés et qu’il faut aller la secourir.
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Où faut-il entrer dans l’eau ? C’est l’intuition qui le guide, il court, nage, rejoint son amie, et l’aide à atteindre le rivage, ouf ! plus de peur que de mal. Mais maintenant que l’émotion est passée, Raphaël se demande quel était le meilleur endroit pour pénétrer dans l’eau. " Meilleur " ? En quel sens ? Au sens d’une minimisation du temps mis pour aller rejoindre son amie, bien sûr. Il court sur le sable à la vitesse v1, il nage à la vitesse v2. La solution est constituée de deux segments de droite. |
Il faut calculer, pour un point d’entrée dans l’eau repéré par une abscisse x le long d’une ligne modélisant la position de la mer, la durée t1 de la course sur le sable, la durée t2 de nage, le total t1 + t2, qui est une fonction de x, et déterminer le point où la dérivée de cette fonction s’annule. Le résultat est résumé dans la formule sin i = v1/v2 sin r, où i désigne l’angle que fait la trajectoire de Raphaël sur la plage avec la normale à la mer, et r désigne l’angle de la trajectoire dans l’eau avec cette même normale.
théorème de Pythagore, fonction d’une variable, dérivée, fonctions trigonométriques. C’est clair : nous sommes en Première.
la loi obtenue est celle de la réfraction. Lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, qui s’agit-il de sauver ?
le sens, ici, est donné par l’urgence d’aller sauver Lucie. Il est des situations où déterminer le point optimum peut être important. Comment faire si l’on ne sait pas se servir des mathématiques ?
la même histoire peut se raconter en permutant les rôles de Raphaël et de Lucie.
Beaucoup de gens pensent que les mathématiques ne sont qu’une façon commode de représenter des données ou même des relations entre grandeurs. Il faut montrer aux élèves qu’il s’agit de bien autre chose que cela.
Soit un élève de Terminale et le problème suivant : au jeu de boule, pour une vitesse de lancer donnée (en module) et une position de la boule de l’adversaire fixée, déterminer l’angle de lancer pour " faire un carreau " ? Un élève moyen sait faire cela, et obtient deux solutions, que les joueurs expérimentés connaissent bien, d’ailleurs : le lancer à tir tendu et le lancer en cloche. Mais il n’est pas nécessaire de le savoir lorsqu’on fait la mise en équation, laquelle ne nécessite de s’appuyer que sur le dessin d’une trajectoire. La seconde vient comme un cadeau de la formalisation. Cette idée me semble essentielle du point de vue pédagogique. Il faut montrer aux élèves que la formalisation mathématique n’est pas là comme une ornementation dont on pourrait se passer, ou pour tester leurs aptitudes techniques, ou pour attribuer plus facilement une note à un examen, mais parce que cette formalisation permet d’obtenir des réponses à des questions dont le sens est immédiatement compréhensible, et qu’on ne pourrait trouver ces réponses d’une autre façon.
Des cadeaux fournis par la formalisation mathématique, il y en a de bien plus somptueux, qu’on ne pourra montrer qu’à l’Université. La propagation des ondes électromagnétiques, qui surgissent des équations de Maxwell sans que celui-ci les y ait mises ; le positron, contenu dans l’équation que Dirac écrit à la fin des années 20 pour l’électron ; l’expansion de l’Univers, présent dans les équations de la relativité générale…
Qu’il y ait plus dans les équations que ce qui a servi à les établir – des effets nouveaux, des objets non encore identifiés – voilà qui est vraiment " déraisonnable ".
Cette imbrication est tellement profonde qu’on est évidemment tenté de renverser le point de vue et de se demander s’il n’y aurait pas quelque " Déraisonnable efficacité des sciences naturelles dans les mathématiques " ?
Jacques Treiner
président du GTD de physique chimie
Document proposé par le groupe d'experts de Physique Chimie
Direction générale de l'Enseignement scolaire - Publié le 07 avril 2003
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