Plutôt que viser la généralité, je prendrai un exemple simple : celui d’une masse au bout d’un fil, dans le champ de gravité terrestre. Ce système relève de la théorie qui traite du mouvement des objets soumis à des forces, en l’occurrence la mécanique classique. La théorie, c’est donc l’ensemble des équations de Newton.
Mais pour utiliser cette théorie, il faut encore définir une représentation abstraite du système physique réel. En effet la théorie ne s’applique pas au système réel, mais à sa représentation. On dira par exemple (si c’est le cas !) que le fil est inextensible et sans masse (plus précisément que sa masse et son extension sont négligeables eu égard à la précision avec laquelle on observe le mouvement), et que le point d’attache est parfait : on représente ainsi le système par le « modèle » d’une masse ponctuelle suspendue à un fil sans masse et de longueur constante. Reste à modéliser l’interaction de la masse ponctuelle avec la Terre et avec l’environnement immédiat. On dira par exemple que le champ de pesanteur est constant et que les frottements sont négligeables. Si ces derniers ne le sont pas, il faudra les modéliser, par exemple par une force proportionnelle à la vitesse, ou au carré de la vitesse. Dans toute cette affaire, il s’agit de choisir les variables pertinentes et les effets que l’on négligera. Mais il faut aussi remarquer que le choix des variables se fait en référence à une théorie : si l’on cherche à caractériser les forces, c’est qu’on a les équations de la mécanique classique en tête ! Lorsque le cadre théorique est connu et le modèle défini, on cherche à résoudre les équations du mouvement. En général on ne sait pas le faire analytiquement. Deux routes sont alors possibles :
résoudre les équations à l’aide d’un ordinateur (il faudra alors se poser la question de la précision numérique de l’algorithme utilisé),
faire des approximations sur les équations pour chercher une solution analytique (se posera alors la question du domaine de validité des approximations).
Il n’est du reste pas interdit de suivre les deux routes à la fois. Dans le cas du pendule, on linéarise le sinus pour obtenir une équation du type oscillateur harmonique pour lequel on a les solutions analytiques. Remarquons ici qu’il ne faut pas confondre l’introduction d’approximations sur les équations avec l’élaboration de la modélisation initiale. On voit sur cet exemple que la phase de modélisation est non seulement indispensable mais essentielle. La difficulté de la physique tient pour un grande part à cette phase d’analyse du système, où il s’agit de découper dans la complexité du monde empirique un bout de réalité dont on construit une représentation abstraite à laquelle une théorie va pouvoir s’appliquer. C’est une dimension de l’activité du physicien qu’il faut faire sentir aux élèves, à quelque niveau qu’ils soient. Notons que cette difficulté ne se présente quasiment pas en mathématiques. Les objets mathématiques sont en effet relativement simples : cercles, droites, carrés, sphères, nombres etc.
Le résultat de mesures sur un système se présente toujours comme un ensemble discret de couples de valeurs. La manipulation de ces données, dérivation, intégration, est évidemment facilitée (et plus précise) si l’on dispose d’une représentation mathématique de ces valeurs. On recherchera donc à ajuster une fonction simple à cet ensemble de couples. Les logiciels habituels utilisent le terme de « modélisation » pour cet exercice. Mais cette modélisation mathématique est différente de la modélisation physique dont il était question plus haut. Les termes « ajustement » ou « recherche d’une fonction d’essai » éviteraient toute confusion, mais il est difficile d’aller contre l’usage.
Il est important de remarquer que le succès de la procédure d’ajustement ne signifie pas nécessairement qu’un lien causal a été établi entre les grandeurs en question : le terme « fonction » peut être ici trompeur. Par exemple, si deux grandeurs varient linéairement avec le temps, comme par exemple le nombre de visiteurs au Mont Saint-Michel et le nombre d’étudiants choisissant la physique à l’Université après le bac, la représentation des couples sur un graphique fera apparaître une relation affine sans aucune signification : il est peu probable, en effet, que l’engouement pour le site le plus visité de France soit dû à la désaffection observée (mais passagère ?) pour notre discipline chez les jeunes. Les cas intéressants sont évidemment ceux où les relations ont le statut de « lois » empiriques, c’est-à-dire expriment une structure sous-jacente qu’il s’agit de mettre à jour : ainsi des lois de Kepler.
Le terme mathématique de « fonction », du reste, représente assez mal ce que la physique place sous le même terme. Le physicien cherche à établir des « relations » entre grandeurs ou « variables » physiques. L’utilisation du terme « fonction » renvoie à une situation expérimentale, à une intention particulière. Reprenons l’exemple du pendule simple. On dira volontiers que sa période est « fonction » de sa longueur, on dira moins volontiers que sa longueur est fonction de sa période. Pourquoi ? La théorie nous fournit une relation que l’on peut utiliser a priori dans tous les sens. Mais ici, notre vision est conditionnée par l’idée que le pendule est construit avant qu’on le fasse osciller. C’est cette antériorité qui nous suggère que la période est « fonction » de la longueur. Mais imaginons que je veuille connaître la longueur d’une corde très longue et que je ne dispose que d’un chronomètre. Je suspendrai un caillou au bout de la corde que j’irai attacher au sommet d’un grand immeuble, et mesurant la période, j’en déduirai la longueur, qui deviendra ainsi fonction de la période. De même, de la loi de décroissance radioactive, N(t) = N0 exp( - l t), je peux déduire t(N) = -1/l Ln [N(t)/N0]. Le temps est-il fonction du nombre de noyaux présents ? Bien sûr, si je me sers de la loi pour fabriquer une horloge !
Prenons l’exemple des lois de Kepler, disons la troisième : le carré de la durée de révolution d’une planète est proportionnelle au cube du grand axe de l’ellipse-trajectoire. Dira-t-on que la période est « fonction » du grand axe ? Oui, surtout si l’on a en tête de placer un satellite artificiel dont la période de rotation doit être en rapport avec celle de la rotation de la Terre. De même, l’équation des gaz parfaits relie des « variables d’état ». Dans ce contexte, la notion de fonction est liée à celle de procédure expérimentale. Si, à température constante, on choisit de changer le volume, on dira que la pression est fonction du volume. Si, en revanche, on choisit la pression finale en déposant une masse donnée sur le piston idéal qui enferme le gaz, on dira que le volume est fonction de la pression choisie.
Un mot pour finir.
L’histoire de la physique est remplie de cas où des lois importantes sont découvertes empiriquement avant d’être établies dans le cadre d’une théorie : les lois de Kepler, la loi de rayonnement du corps noir, la loi de Stephan, les formules de Balmer, Lyman, Paschen pour les séries de l’atome d’hydrogène constituent quelques exemples célèbres. Le statut de la « loi » de Titus-Bode est encore incertain : sera-t-elle établie dans le cadre de la théorie des systèmes dynamiques ?
Précisons succinctement les enjeux :
Une loi empirique est une relation entre grandeurs physiques établie sur la base d’observations expérimentales, suffisamment générale pour suggérer d’en cherche une justification théorique.
Une loi théorique est une relation entre grandeurs physiques établie, comme son nom l’indique, sans référence directe à des mesures. Il faut donc disposer d’une théorie, c’est-à-dire de principes et de règles pour calculer ces grandeurs. Strictement parlant, dans le cadre d’une théorie, une loi est un théorème. Comme théorème, il est « vrai », même si la comparaison avec les données empiriques montre que la théorie est fausse ! C’est même le cheminement logique pour montrer qu’une théorie est fausse, ou trop simple, ou qu’elle est utilisée hors de son domaine d’application etc.
Jacques Treiner
Document proposé par le groupe d'experts de Physique Chimie
Direction générale de l'Enseignement scolaire - Publié le 07 avril 2003
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