Accompagnement de la mise en oeuvre des programmes en classe terminale de la série ES

Théorie des graphes en classe terminale de la série ES

L'introduction d'éléments de la théorie des graphes dans l'enseignement de spécialité de la classe terminale de la série ES constitue une grande nouveauté :

• pour la première fois, cette branche des mathématiques discrètes fait son entrée dans l'enseignement secondaire français ;
• le travail proposé est axé sur la seule résolution de problèmes et aucunement sur un exposé magistral.

Pourquoi introduire des éléments de la théorie des graphes ?

Ce choix est cohérent tant avec le programme de la classe antérieure qu'avec les exigences de formation ultérieure. On trouve en effet ici quelques applications intéressantes du calcul matriciel développé dans l'option de première ES ; par ailleurs, les problèmes résolus constituent une première approche - volontairement modeste - de situations diverses (gestion de stocks, transports à coûts minimaux, recherche de fichiers dans des ordinateurs, reconnaissance de mots...) auxquelles les élèves pourront être par la suite confrontés.

Pour de nombreux lycéens, le champ mathématique se limite au calcul, à l'étude des fonctions et à la géométrie élémentaire : s'ouvrir sur la théorie des graphes, c'est s'ouvrir à de nouveaux raisonnements, c'est s'entraîner à avoir un autre regard mathématique et finalement, progresser. Enfin le travail fait sur les graphes pourra être investi dans des travaux personnels encadrés.

Pourquoi axer le travail sur la seule résolution de problèmes ?

La théorie des graphes ouvre un grand champ de modélisation conduisant à des solutions efficaces pour de nombreux problèmes ; toute présentation théorique magistrale du sujet est contraire au choix fait ici. De plus, la résolution de problèmes laisse place à l'initiative des élèves, avec un temps nécessaire de tâtonnements et d'essais. L'objectif, ici, est d'apprendre à représenter une situation à l'aide d'un graphe en se posant d'abord les questions suivantes : "quels objets vont tenir le rôle de sommets, lesquels deviennent les arêtes ? ".

Un exemple illustrant le type de travail à faire est donné sous la forme d'une liste de 25 exercices permettant de faire le tour de toutes les notions au programme. Bien entendu, cette liste ne revêt aucun caractère officiel. L'optique étant la résolution de problèmes, c'est le bon usage des notions relatives aux graphes, et non la mémorisation de définitions formelles, qui est ici recherchée.

Un lexique a été fourni ; sa fonction est de définir clairement les limites de cet enseignement neuf : toute notion relative à la théorie des graphes, qui ne correspondrait pas à l'un des termes du lexique, est hors programme.

Le plan de ces pages

• 25 exercices qui ont illustré l'introduction de la théorie des graphes dans la série ES lors de la consultation du premier trimestre 2001 ;
• un lexique explicitant, à l'aide d'exemples simples, les notions au programmes ;
• la liste des propriétés au programme, qui pourront être soit démontrées, soit commentées mais que tout élève devra connaître et savoir utiliser ;
• une liste de liens pointant par exemple sur des cours en ligne de théorie des graphes, sur les applications de cette théorie...

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